Метод замены плоскостей проекций

Для решения целого ряда задач начертательной геометрии наиболее рациональным является метод замены плоскостей проекций. Например, с его помощью можно определить натуральную величину плоской фигуры, расстояние между параллельными прямыми, опорные точки пересечения поверхностей.

Содержание

1. Замена одной плоскости проекции
2. Замена двух плоскостей проекций
3. Использование метода замены при решении задач

Замена одной плоскости проекции

Сущность метода заключается в замене одной из плоскостей проекций на дополнительную плоскость, выбранную так, чтобы в новой системе плоскостей решение поставленной задачи значительно упрощалось. Положение фигур в пространстве при этом не меняется.

Пример 1.

Рассмотрим на примере точек A и B, как осуществляются построения на комплексном чертеже. Изначально точка A находится в системе плоскостей П₁, П₂. Введем дополнительную горизонтальную пл. П₄. Она будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П₂ и пересечет её по оси x₁. Эту ось необходимо провести на комплексном чертеже с учётом цели построения. Здесь мы расположили её произвольно.

В новой системе плоскостей положение точки A'' не изменится. Чтобы найти точку A'₁, которая является проекцией т. А на плоскость П₄, проведем из A'' перпендикуляр к оси x₁. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x₁ отложим отрезок A_x1А'₁, равный отрезку A_xA'.

Данные построения основаны на равенстве ординат точек A' и А'₁. Действительно, в системе плоскостей П₁, П₂ и в системе П₂, П₄ точка A удалена от фронтальной плоскости проекций П₂ на одно и то же расстояние.

Пример 2.

Теперь осуществим перевод точки B в новую систему плоскостей П₁, П₄ (рис. ниже). Для этого введем произвольную фронтальную пл. П₄, которая будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П₁ и пересечет её по оси x₁.

В системе П₁, П₄ положение точки B' останется неизменным. Чтобы найти точку B''₁, проведем из B' перпендикуляр к оси x₁. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x₁ отложим отрезок B_x1B''₁ равный отрезку B_xB''. Описанные построения основаны на равенстве аппликат точек B'' и B''₁.

Замена двух плоскостей проекций

Иногда для решения поставленной задачи требуется замена двух плоскостей проекций (рис. ниже). Пусть A' и A'' – исходные проекции точки A, находящейся в системе пл. П₁, П₂. Введем первую дополнительную плоскость П₄ и определим новую горизонтальную проекцию A'₁ точки A, как это было описано ранее.

Для осуществления второй замены плоскости проекций будем рассматривать систему пл. П₂, П₄ в качестве исходной. Введем новую фронтальную плоскость П₅ перпендикулярно горизонтальной пл. П₄. Для этого на произвольном месте чертежа проведем ось x₂ = П₄ ∩ П₅. Из точки A'₁, положение которой останется неизменным, восстановим перпендикуляр к оси x₂. На нем от точки A_x2 отложим отрезок A_x2A''₁ равный отрезку A''A_x1.

Использование метода замены при решении задач

Владея методом замены применительно к одной точке, можно построить дополнительные проекции любых фигур, поскольку они представляют собой множество точек. На рисунке ниже показан перевод отрезка AB в частное положение. Новая плоскость П₄ проведена параллельно AB, поэтому отрезок проецируется на неё в натуральную величину.

На следующем рисунке показана плоскость общего положения α, заданная следами. Переведем её в новую систему плоскостей П₁, П₄ так, чтобы α занимала проецирующее положение. Для этого перпендикулярно горизонтальному следу h_0α введем дополнительную фронтальную плоскость П₄.

Новый фронтальный след f_0α1 строится по двум точкам. Одна из них, X_α1, лежит на пересечении h_0α с осью x₁. Дополнительно возьмем точку N, принадлежащую α, и укажем её фронтальную проекцию N''₁ на плоскости П₄.

Определение расстояния между параллельными плоскостями

Параллельные плоскости α и β расположены так, как показано на рисунке. Чтобы найти расстояние между ними, необходимо из произвольной точки A, взятой на пл. α, опустить перпендикуляр AB на пл. β и определить его настоящую длину.

Для уменьшения количества геометрических построений α и β предварительно переводятся в проецирующее положение с помощью метода замены плоскостей проекций. Вспомогательная точка M используется для определения направления следов f_0β1 и f_0α1, параллельных друг другу.