Определение расстояния от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.

Алгоритм

  1. Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
  2. Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
  3. Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.

Пример

На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.

Условие задачи

Решение

Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей, который не предполагает перемещение фигур в пространстве.

Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П4. В новой системе (П1, П4) точки C''1, D''1, M''1 находятся на том же удалении от оси X1, что и C'', D'', M'' от оси X.

Прямая параллельна новой плоскости П4

Выполняя вторую часть алгоритма, из M''1 опускаем перпендикуляр M''1N''1 на прямую b''1, поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N' и проводим проекцию M'N' отрезка MN.

Построение проекций перпендикуляра

На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M'N' и M''1N''1. Для этого строим прямоугольный треугольник M''1N''1N0, у которого катет N''1N0 равен разности (YM1 – YN1) удаления точек M' и N' от оси X1. Длина гипотенузы M''1N0 треугольника M''1N''1N0 соответствует искомому расстоянию от M до b.

Натуральная величина расстояния от точки до прямой

Второй способ решения

  • Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П4. Она пересекает П1 по оси X1, причем X1∥C'D'. В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C''1, D''1 и M''1, как это изображено на рисунке.
  • Перпендикулярно C''1D''1 строим дополнительную горизонтальную плоскость П5, на которую прямая b проецируется в точку C'2 = b'2.
  • Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M'2C'2, обозначенного красным цветом.

Решение путем перевода прямой в проецирующее положение

Похожие задачи:

 
Заказать чертеж