Метод замены плоскостей проекций
Для решения целого ряда задач начертательной геометрии наиболее рациональным является метод замены плоскостей проекций. Например, с его помощью можно определить натуральную величину плоской фигуры, расстояние между параллельными прямыми, опорные точки пересечения поверхностей.
Содержание
- Замена одной плоскости проекции
- Замена двух плоскостей проекций
- Использование метода замены при решении задач
Замена одной плоскости проекции
Сущность метода заключается в замене одной из плоскостей проекций на дополнительную плоскость, выбранную так, чтобы в новой системе плоскостей решение поставленной задачи значительно упрощалось. Положение фигур в пространстве при этом не меняется.
Пример 1.
Рассмотрим на примере точек A и B, как осуществляются построения на комплексном чертеже. Изначально точка A находится в системе плоскостей П1, П2. Введем дополнительную горизонтальную пл. П4. Она будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П2 и пересечет её по оси x1. Эту ось необходимо провести на комплексном чертеже с учётом цели построения. Здесь мы расположили её произвольно.
В новой системе плоскостей положение точки A'' не изменится. Чтобы найти точку A'1, которая является проекцией т. А на плоскость П4, проведем из A'' перпендикуляр к оси x1. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x1 отложим отрезок Ax1А'1, равный отрезку AxA'.
Данные построения основаны на равенстве ординат точек A' и А'1. Действительно, в системе плоскостей П1, П2 и в системе П2, П4 точка A удалена от фронтальной плоскости проекций П2 на одно и то же расстояние.
Пример 2.
Теперь осуществим перевод точки B в новую систему плоскостей П1, П4 (рис. ниже). Для этого введем произвольную фронтальную пл. П4, которая будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П1 и пересечет её по оси x1.
В системе П1, П4 положение точки B' останется неизменным. Чтобы найти точку B''1, проведем из B' перпендикуляр к оси x1. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x1 отложим отрезок Bx1B''1 равный отрезку BxB''. Описанные построения основаны на равенстве аппликат точек B'' и B''1.
Замена двух плоскостей проекций
Иногда для решения поставленной задачи требуется замена двух плоскостей проекций (рис. ниже). Пусть A' и A'' – исходные проекции точки A, находящейся в системе пл. П1, П2. Введем первую дополнительную плоскость П4 и определим новую горизонтальную проекцию A'1 точки A, как это было описано ранее.
Для осуществления второй замены плоскости проекций будем рассматривать систему пл. П2, П4 в качестве исходной. Введем новую фронтальную плоскость П5 перпендикулярно горизонтальной пл. П4. Для этого на произвольном месте чертежа проведем ось x2 = П4 ∩ П5. Из точки A'1, положение которой останется неизменным, восстановим перпендикуляр к оси x2. На нем от точки Ax2 отложим отрезок Ax2A''1 равный отрезку A''Ax1.
Использование метода замены при решении задач
Владея методом замены применительно к одной точке, можно построить дополнительные проекции любых фигур, поскольку они представляют собой множество точек. На рисунке ниже показан перевод отрезка AB в частное положение. Новая плоскость П4 проведена параллельно AB, поэтому отрезок проецируется на неё в натуральную величину.
На следующем рисунке показана плоскость общего положения α, заданная следами. Переведем её в новую систему плоскостей П1, П4 так, чтобы α занимала проецирующее положение. Для этого перпендикулярно горизонтальному следу h0α введем дополнительную фронтальную плоскость П4.
Новый фронтальный след f0α1 строится по двум точкам. Одна из них, Xα1, лежит на пересечении h0α с осью x1. Дополнительно возьмем точку N, принадлежащую α, и укажем её фронтальную проекцию N''1 на плоскости П4.
Определение расстояния между параллельными плоскостями
Параллельные плоскости α и β расположены так, как показано на рисунке. Чтобы найти расстояние между ними, необходимо из произвольной точки A, взятой на пл. α, опустить перпендикуляр AB на пл. β и определить его настоящую длину.
Для уменьшения количества геометрических построений α и β предварительно переводятся в проецирующее положение с помощью метода замены плоскостей проекций. Вспомогательная точка M используется для определения направления следов f0β1 и f0α1, параллельных друг другу.
Другие способы преобразования проекций: