Построение линии пересечения конусов методом концентрических сфер

На рисунке ниже изображены два конуса вращения. Их оси i₁ и i₂, пересекаясь в точке O, образуют плоскость α(i₁∩i₂), которая параллельна фронтальной плоскости проекций π₂.

Для построения линии пересечения конусов, показанных на рисунке, целесообразно использовать метод концентрических сфер. Применение данного метода возможно в результате выполнения следующих условий:

• пересекаются поверхности вращения (в частности, конус с конусом, конус с тором или цилиндром и т.д.);
• оси поверхностей, пересекаясь между собой, образуют плоскость, которая параллельна одной из плоскостей проекций (в рассматриваемом примере пл. α(i₁∩i₂)∥π₂).

Алгоритм построения линии пересечения

Построение линии пересечения начинают с нахождения характерных точек, которые определяют ее границы и видимость относительно плоскостей проекций.

Определение характерных точек

Плоскость α, образованная пересекающимися осями i₁ и i₂, является общей плоскостью симметрии двух конусов. На рисунке показан ее горизонтальный след h_0α. Пересечение пл. α с конусами происходит по образующим S₂A, S₂B и S₁C, S₁D. Данные образующие ещё называют очерковыми, так как они очерчивают границы поверхностей (на фронтальной проекции).

Точки F’’, E’’, G’’, K’’, в которых пресекаются прямые S’’₂A’’, S’’₂B’’ с прямыми S’’₁C’’ и S’’₁D’’, определяют границы линии пересечения конусов в её проекции на плоскость π₂. Для нахождения F’, E’, G’ и K’ проводят линии связи из F’’, E’’, G’’, K’’ до горизонтального следа h_0α.

Определение промежуточных точек

Воспользуемся методом концентрических сфер для нахождения множества промежуточных точек линии пересечения. Центром, из которого проводятся вспомогательные сферы, является точка O пересечения осей i₁ и i₂ рассматриваемых конусов.

Радиус R_max наибольшей сферы, применяемой в построениях, равен длине отрезка O’’G’’ – расстоянию от точки O до наиболее удаленной от нее точки G пересечения очерковых образующих.

Сфера минимального радиуса R_min – это сфера, вписанная в один из конусов и пересекающая другой. На рисунке ниже R_min= O’’H’’, где O’’H’’⊥ S’’₂B’’.

Рассмотрим построение точек 1, 2, 3 и 4. Сфера радиусом R_min пересекается с конусом, в которой она вписана, по окружности. Данная окружность проецируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка P’’H’’. Кроме того, сфера радиусом R_min пересекается со вторым конусом по двум окружностям, диаметры которых соответственно равны длинам отрезков M’’N’’ и T’’L’’. Таким образом, на поверхности сферы лежат три окружности, которые пересекаются в общих для двух конусов точках 1, 2, 3 и 4.

Фронтальные проекции 1’’, 2’’, 3’’, 4’’ находятся на пересечении отрезков M’’N’’, T’’L’’ с P’’H’’. Для нахождения горизонтальных проекций 1’, 2’, 3’, 4’ точек 1, 2, 3, 4 на плоскости проекций π₁ из центра O’ проводим две окружности с диаметрами M’’N’’ и T’’L’’. Учитывая принадлежность точек соответствующим окружностям, по линиям связи определяем их горизонтальные проекции, как это показано на рисунке выше.

С помощью вспомогательной сферы радиусом R_var, где R_min ≤ R_var ≤ R_max, найдены точки 5 и 6. Как видно из построений, они находятся на пересечении двух окружностей, которые проецируются на фронтальную плоскость в виде отрезков W’’U’’ и Q’’V’’.

В описываемом способе решения каждая сфера играет роль посредника, содержащего на своей поверхности кривые (окружности), принадлежащие пересекающимся конусам. Действуя в соответствии с приведенным выше алгоритмом, необходимо найти такое количество точек, которое позволит определить геометрическую форму линии пересечения на каждой из проекций.

Найденные точки соединяем плавными кривыми с учетом их видимости. Как видно на рисунке, в результате пересечения конусов образовались две замкнутые линии. Они показаны красным цветом.