Построение линии пересечения плоскостей, заданных различными способами

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Задача

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L1 и L2, принадлежащих линии пересечения.

Построение линии пересечения по точкам

Решение

  1. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ1. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1''C'' и 2''3'', совпадают с фронтальным следом пл. γ1. Он обозначен на рисунке как f0γ1 и расположен параллельно оси x.
  2. Определяем горизонтальные проекции 1'C' и 2'3' по линиям связи.
  3. Находим горизонтальную проекцию точки L1 на пересечении прямых 1'C' и 2'3'. Фронтальная проекция точки L1 лежит на фронтальном следе плоскости γ.
  4. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ2. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L2.
  5. Через L1 и L2 проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П1 и П2.

Пересечение плоскостей, заданных следами

Алгоритм построения

  1. Находим точку L'1, расположенную на пересечении горизонтальных следов h0α и h0β. Точка L''1 лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L'1.
  2. Находим точку L''2 на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L'2 лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L''2.
  3. Проводим прямые l' и l'' через соответствующие проекции точек L1 и L2, как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

Алгоритм построения

  1. Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f. Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3''=A''B''∩f и 5''=A''С''∩f, определяем положение (∙)3' и (∙)5' по линиям связи на ΔA'B'C'.
  2. Находим горизонтальную проекцию N'=D'E'∩3'5' точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N'' расположена на фронтальном следе f на одной линии связи с N'.
  3. Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

  4. Через N и K проводим искомую прямую NK – линию пересечения ΔABC и ΔDEF.

Определение видимости

Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π2. Так как (∙)5' находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4', то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π2. С противоположной стороны от линии N''K'' видимость треугольников меняется.

Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π1. Так как (∙)6'' находится выше, чем (∙)7'', то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π1. С противоположной стороны от линии N'K' видимость треугольников меняется.

Дополнительные материалы: